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  • Critère de Foster-Lyapounov pour l'ergodicité

    Formulaire de report

    Critère de Foster-Lyapounov :
    • \((X_n)_n\) est une Chaîne de Markov irréductible sur \(E\)
    • \(\exists V:E\to{\Bbb R}_+\) (fonction de Lyapounov, potentiel), \(K\subset E\) fini (états exceptionnels) et \(b,\varepsilon\gt 0\) tels que $$\underbrace{{\Bbb E}[V(X_{n+1})-V(X_n)|X_n=x]}_{\text{drift} }\leqslant\begin{cases} b-\varepsilon&\text{si}\quad x\in K\\ -\varepsilon&\text{sinon.}&\end{cases}$$

    $$\Huge\iff$$
    • la chaîne \((X_n)_n\) est ergodique



    Exercices


    Evaluer le drift avec la fonction de Lyapounov donnée.

    Lorsque \(x\) devient très grand, cela tend vers quelque-chose de strictement négatif.

    On peut rempalcer la condition "\(x\) très grand" par une certaine borne \(x_0\).

    En prenant \(K=\{0,\dots,x_0\}\), on a bien tous les éléments nécessaires.



  • Rétroliens :
    • Protocole Aloha avec un nombre infini de stations
    • TDs en vrac